Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} z e^{- z} d z$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = z$ y $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- z} d z$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{0}^{1} e^{- z} d z$ por $1$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- z} d z$

Paso 4

Sea $u = - z$ . Entonces $d u = - d z$ , de modo que $- d u = d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = - z$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $z$ en $u = - z$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $z$ en $u = - z$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$z (- e^{- z})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Evalúa $z (- e^{- z})$ en $1$ y en $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Paso 7.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 1$ y en $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.6

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.7

Suma $- e^{- 1}$ y $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Paso 7.3.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Paso 7.3.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

Paso 8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

Paso 8.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

Paso 8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{2}{e}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$1 - \frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.26424111 \dots$

Paso 10