Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{8 y}$ y quítalo del denominador.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Paso 1.2.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 8 y}$ y $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Paso 3.2

Combina $y$ y $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Paso 4

Dado que $- \frac{1}{8}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- \frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Paso 6

Sea $u = - 8 y$ . Entonces $d u = - 8 d y$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 8 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Paso 6.1.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 8 y$ con respecto a $y$ es $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $8$ por $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ en $1$ y en $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Paso 12.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 8$ y en $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.2

Multiplica $e^{- 8}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.3

Mueve $e^{- 8}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.4

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.7

Cancela el factor común de $0$ y $8$ .

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Paso 12.3.7.1

Factoriza $8$ de $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.7.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.8

Suma $- \frac{1}{8 e^{8}}$ y $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 12.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Paso 12.3.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Paso 12.3.11

Para escribir $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.12

Combina $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ y $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.14

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.15

Combina $- 8$ y $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.16

Combina $e^{8}$ y $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.17

Mueve $- 8$ a la izquierda de $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.18

Cancela el factor común de $- 8$ y $64$ .

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Paso 12.3.18.1

Factoriza $8$ de $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.18.2.1

Factoriza $8$ de $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 12.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 13.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Paso 13.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Paso 13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.2

Multiplica $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

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Paso 14.1.2.1

Combina $\frac{e^{8}}{8}$ y $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.2.2

Multiplica $e^{8}$ por $e^{- 8}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.2.2.2

Resta $8$ de $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.2.3

Simplifica $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.3

Combina $\frac{e^{8}}{8}$ y $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.4.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.7

Suma $8$ y $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.9

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.9.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.9.2

Reescribe $e^{8}$ como ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.1.9.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Paso 14.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Paso 14.3

Combinar.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Paso 14.4

Multiplica $3 + e^{4}$ por $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Paso 14.5

Multiplica $8$ por $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Paso 14.6

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Forma decimal:

$0.01557782 \dots$

Paso 16