Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Paso 1

Dado que $11$ es constante con respecto a $x$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + x^{11}$ . Entonces $d u = 11 x^{10} d x$ , de modo que $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + x^{11}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{11}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Paso 3

Combina $u^{10}$ y $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{11}$ fuera de la integral.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{11}$ y $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ por $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{10}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{11} u^{11}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{1}{11}$ y $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Paso 7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Paso 7.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Paso 7.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Paso 7.2.6

Resta $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimal:

$186.\overline{09}$

Forma de número mixto:

$186 \frac{1}{11}$

Paso 9