Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arcsin (y)$ y $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Paso 2

Combina $y$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Paso 3

Sea $u = 1 - y^{2}$ . Entonces $d u = - 2 y d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 1 - y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 3.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 y$

Paso 3.1.4

Resta $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 3.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 6.2

Multiplica $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ por $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 8.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\arcsin (y) y$ en $1$ y en $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Paso 10.2

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $0$ y en $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\arcsin (1)$ por $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.3

Multiplica $0$ por $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.4

Suma $\arcsin (1)$ y $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.7.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.7.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.8

Evalúa el exponente.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.9

Multiplica $2$ por $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 10.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Paso 10.3.11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Paso 10.3.12

Resta $2$ de $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Paso 10.3.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Paso 10.3.14

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 10.3.14.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Paso 10.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.14.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Paso 10.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Paso 10.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Paso 10.3.14.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Paso 11

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2} - 1$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$