Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 9 x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{0}^{1} x {(x^{2} - 1)}^{9} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} - 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$9 \int_{- 1}^{0} u^{9} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $u^{9}$ y $\frac{1}{2}$ .

$9 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{9}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 1}^{0} u^{9} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{9}{2} \frac{1}{10} u^{10}]_{- 1}^{0}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{10} u^{10}$ en $0$ y en $- 1$ .

$\frac{9}{2} ((\frac{1}{10} \cdot 0^{10}) - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{9}{2} (\frac{1}{10} \cdot 0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} {(- 1)}^{10})$

Paso 7.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $10$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Paso 7.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9}{2} (0 - \frac{1}{10})$

Paso 7.2.5

Resta $\frac{1}{10}$ de $0$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{10})$

Paso 7.2.6

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 10}$

Paso 7.2.7

Multiplica $2$ por $10$ .

$- \frac{9}{20}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{9}{20}$

Forma decimal:

$- 0.45$

Paso 9