Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 5 x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{1} x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 + x^{5}$ . Entonces $d u = 5 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 + x^{5}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{5}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$0 + 5 x^{4}$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $5 x^{4}$ .

$5 x^{4}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{lower} = 3 + 0^{5}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{upper} = 3 + 1^{5}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 3 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $3$ y $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 \int_{3}^{4} u^{4} \frac{1}{5} d u$

Paso 3

Combina $u^{4}$ y $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{3}^{4} \frac{u^{4}}{5} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int_{3}^{4} u^{4} d u$ por $1$ .

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{3}^{4}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5}$ en $4$ y en $3$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Paso 7.2.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $1024$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Paso 7.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 243$

Paso 7.2.4

Multiplica $243$ por $- 1$ .

$\frac{1024}{5} - 243 (\frac{1}{5})$

Paso 7.2.5

Combina $- 243$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1024}{5} + \frac{- 243}{5}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1024}{5} - \frac{243}{5}$

Paso 7.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1024 - 243}{5}$

Paso 7.2.8

Resta $243$ de $1024$ .

$\frac{781}{5}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{781}{5}$

Forma decimal:

$156.2$

Forma de número mixto:

$156 \frac{1}{5}$

Paso 9