Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x (8 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Paso 3.2

Reordena $x$ y $8$ .

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Paso 3.3

Reordena $x$ y $5$ .

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} 8 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.8

Suma $3$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Paso 3.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Paso 3.11

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Paso 3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Paso 3.13

Suma $4$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 5

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$8 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 7

Combina $\frac{3}{7}$ y $x^{\frac{7}{3}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 8

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Combina $\frac{4}{9}$ y $x^{\frac{9}{4}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

Paso 10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ en $1$ y en $0$ .

$8 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

Paso 10.2.2

Evalúa $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ en $1$ y en $0$ .

$8 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3

Simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 10.2.3.8.1

Factoriza $7$ de $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.8.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$8 (\frac{3}{7} - 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 (\frac{3}{7} + 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.10

Suma $\frac{3}{7}$ y $0$ .

$8 (\frac{3}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.11

Combina $8$ y $\frac{3}{7}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.12

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.14

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.15

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9})$

Paso 10.2.3.16

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

Paso 10.2.3.17

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.2.3.17.1

Cancela el factor común.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

Paso 10.2.3.17.2

Reescribe la expresión.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9})$

Paso 10.2.3.18

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9})$

Paso 10.2.3.19

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9})$

Paso 10.2.3.20

Cancela el factor común de $0$ y $9$ .

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Paso 10.2.3.20.1

Factoriza $9$ de $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9})$

Paso 10.2.3.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.20.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Paso 10.2.3.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Paso 10.2.3.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1})$

Paso 10.2.3.20.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - 0)$

Paso 10.2.3.21

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} + 0)$

Paso 10.2.3.22

Suma $\frac{4}{9}$ y $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9})$

Paso 10.2.3.23

Combina $5$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{24}{7} + \frac{5 \cdot 4}{9}$

Paso 10.2.3.24

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{24}{7} + \frac{20}{9}$

Paso 10.2.3.25

Para escribir $\frac{24}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9}$

Paso 10.2.3.26

Para escribir $\frac{20}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 10.2.3.27

Escribe cada expresión con un denominador común de $63$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.2.3.27.1

Multiplica $\frac{24}{7}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 10.2.3.27.2

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 10.2.3.27.3

Multiplica $\frac{20}{9}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7}$

Paso 10.2.3.27.4

Multiplica $9$ por $7$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{63}$

Paso 10.2.3.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{24 \cdot 9 + 20 \cdot 7}{63}$

Paso 10.2.3.29

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.3.29.1

Multiplica $24$ por $9$ .

$\frac{216 + 20 \cdot 7}{63}$

Paso 10.2.3.29.2

Multiplica $20$ por $7$ .

$\frac{216 + 140}{63}$

Paso 10.2.3.29.3

Suma $216$ y $140$ .

$\frac{356}{63}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{356}{63}$

Forma decimal:

$5.\overline{650793}$

Forma de número mixto:

$5 \frac{41}{63}$

Paso 12