Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Paso 2

Sea $u = 0.7 (10 - t)$ . Entonces $d u = - 0.7 d t$ , de modo que $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 0.7 (10 - t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Paso 2.1.2

Como $0.7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.7 (10 - t)$ con respecto a $t$ es $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Paso 2.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $10 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 2.1.4

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 2.1.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Paso 2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Paso 2.1.9

Multiplica $- 0.7$ por $1$ .

$- 0.7$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $0$ de $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Paso 2.3.2

Multiplica $0.7$ por $10$ .

$u_{lower} = 7$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Paso 2.5.2

Resta $10$ de $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $0.7$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{0.7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.7}$ fuera de la integral.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{0.7}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $e^{u}$ en $0$ y en $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Paso 9.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Divide $3$ por $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Paso 10.3

Multiplica $- 4.\overline{285714}$ por $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Paso 11