Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Paso 2

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 8$ y en $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Paso 7.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Paso 7.3

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Paso 7.3.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Forma decimal:

$7.99731629 \dots$

Paso 9