Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Entonces $d u = - \frac{3}{4} d x$ , de modo que $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 - 3 x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Paso 1.1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Paso 1.1.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2 - 3 \cdot 0$ y $4$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Paso 1.3.1.4

Reordena los términos.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Paso 1.3.1.5

Factoriza $2$ de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Paso 1.3.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Paso 1.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Paso 1.3.2.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2 - 3 \cdot 8$ y $4$ .

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Paso 1.5.1.4

Reordena los términos.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Paso 1.5.1.5

Factoriza $2$ de $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Paso 1.5.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Paso 1.5.1.6.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.1.6.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Paso 1.5.2.2

Resta $1$ de $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Paso 1.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Paso 2.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{4}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $- \frac{11}{2}$ y en $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla del producto a $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 6.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7.1.2

Eleva $11$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7.1.4

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Paso 7.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Paso 7.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Paso 7.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Paso 7.1.8

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 7.1.8.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Paso 7.1.8.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Paso 7.3

Resta $1$ de $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Paso 7.4.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Paso 7.4.3

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Paso 7.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Paso 7.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $3$ de $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Paso 7.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 444}{6}$

Paso 7.6

Divide $- 444$ por $6$ .

$- - 74$

Paso 7.7

Multiplica $- 1$ por $- 74$ .

$74$

Paso 8