Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ por $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 4.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 4.3

Resta $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Paso 4.5.2

Resta $8$ de $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $x (- e^{1 - x})$ en $8$ y en $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Paso 7.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 7$ y en $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.2

Resta $8$ de $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.6

Simplifica.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.8

Multiplica $0$ por $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.9

Suma $- 8 e^{- 7}$ y $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Paso 7.3.10

Simplifica.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Paso 8.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Paso 8.5

Multiplica $- - e$ .

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Paso 8.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Paso 8.5.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Forma decimal:

$2.71007489 \dots$

Paso 10