Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Paso 1

Sea $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Entonces $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , de modo que $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $3 y^{2} - 2 y + 5$ y $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.4

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Paso 1.5.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $5$ por $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Paso 1.5.2

Resta $49$ de $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Paso 1.5.3

Suma $294$ y $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Paso 1.5.4

Suma $329$ y $1$ .

$u_{upper} = 330$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $330$ y en $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $330$ es $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Paso 5.3

Divide $330$ por $1$ .

$\ln (330)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (330)$

Forma decimal:

$5.79909265 \dots$

Paso 7