Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Paso 1

Combina $t$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Paso 2

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Paso 3

Sea $u = - \frac{t}{2}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2} d t$ , de modo que $- 2 d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - \frac{t}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Paso 3.1.2

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{t}{2}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide $6$ por $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 3$ y en $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Paso 9.2

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Paso 9.3

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Paso 9.3.2

Combina $- 20$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Forma decimal:

$19.00425863 \dots$

Paso 11