Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Paso 4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 4.3

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Paso 4.5

Suma $7$ y $1$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ en $7$ y en $0$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ en $8$ y en $1$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Suma $7$ y $1$ .

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.7

Multiplica $7$ por $48$ .

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.8

Cancela el factor común de $336$ y $4$ .

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Paso 6.3.8.1

Factoriza $4$ de $336$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.8.2.4

Divide $84$ por $1$ .

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.9

Suma $0$ y $1$ .

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.12

Multiplica $0$ por $3$ .

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.13

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 6.3.13.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.13.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.13.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.15

Suma $84$ y $0$ .

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.16

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.17

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.18

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.18.1

Cancela el factor común.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.18.2

Reescribe la expresión.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.19

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.20

Combina $\frac{3}{7}$ y $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.21

Multiplica $3$ por $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Paso 6.3.22

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

Paso 6.3.23

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Paso 6.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

Paso 6.3.25

Resta $3$ de $384$ .

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

Paso 6.3.26

Multiplica $\frac{381}{7}$ por $\frac{3}{4}$ .

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

Paso 6.3.27

Multiplica $381$ por $3$ .

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

Paso 6.3.28

Multiplica $7$ por $4$ .

$84 - \frac{1143}{28}$

Paso 6.3.29

Para escribir $84$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{28}{28}$ .

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

Paso 6.3.30

Combina $84$ y $\frac{28}{28}$ .

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

Paso 6.3.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

Paso 6.3.32

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.32.1

Multiplica $84$ por $28$ .

$\frac{2352 - 1143}{28}$

Paso 6.3.32.2

Resta $1143$ de $2352$ .

$\frac{1209}{28}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1209}{28}$

Forma decimal:

$43.17857142 \dots$

Forma de número mixto:

$43 \frac{5}{28}$

Paso 8