Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 2

Dado que $0.5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $0.5$ fuera de la integral.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $9$ .

$u_{upper} = 18$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 6

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $9$ y en $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Paso 10.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $18$ y en $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Paso 10.3

Evalúa $3 x$ en $9$ y en $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.4.3.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.5

Suma $\frac{81}{2}$ y $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.6

Combina $0.5$ y $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.7

Multiplica $0.5$ por $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.8

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Paso 10.4.9

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Paso 10.4.10

Suma $27$ y $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Paso 10.4.11

Para escribir $27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.4.12

Combina $27$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Paso 10.4.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Paso 10.4.14

Multiplica $27$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Paso 10.4.15

Suma $40.5$ y $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Paso 11

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Paso 12.3

Suma $- 0.6603167$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Paso 12.5

Divide $0.33968329$ por $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Paso 12.6

Divide $94.5$ por $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Paso 12.7

Suma $0.16984164$ y $47.25$ .

$47.41984164$