Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Paso 1

Expande ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 1.5

Reordena $\sin (x)$ y $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 1.7

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 1.8

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 1.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Paso 1.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Paso 1.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.12

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Paso 1.13

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Paso 5

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Paso 11

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 11.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 11.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 11.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 11.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 12

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Paso 15

Sustituye y simplifica.

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Paso 15.1

Evalúa $x$ en $π$ y en $0$ .

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Paso 15.2

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Paso 15.3

Evalúa $x$ en $π$ y en $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Paso 15.4

Evalúa $\sin (u)$ en $2 π$ y en $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Paso 15.5

Simplifica.

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Paso 15.5.1

Suma $π$ y $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Paso 15.5.2

Suma $π$ y $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Paso 16.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Paso 16.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Paso 16.4

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Paso 16.5

Combina $\sin (2 π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.5

Suma $1$ y $1$ .

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Paso 17.7

Simplifica el numerador.

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Paso 17.7.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Paso 17.7.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Paso 17.8

Divide $0$ por $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

Paso 17.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Paso 17.10

Suma $π$ y $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

Paso 17.11

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$π + 4 + \frac{π}{2}$

Paso 17.12

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Paso 17.13

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Paso 17.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

Paso 17.15

Suma $π \cdot 2$ y $π$ .

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Paso 17.15.1

Reordena $π$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

Paso 17.15.2

Suma $2 \cdot π$ y $π$ .

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π}{2} + 4$

Forma decimal:

$8.71238898 \dots$