Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} \frac{1}{25 + x^{2}} d x$

Paso 1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{1}{5^{2} + x^{2}} d x$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{5^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\arctan (\frac{x}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}]_{0}^{5}$

Paso 3.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}$ en $5$ y en $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5}) - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 (0)}{5})}{5}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Paso 3.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Paso 3.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{5}$

Paso 3.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (0)}{5}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{5}$

Paso 3.3.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{5}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{5}$

Paso 3.3.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{5}$

Paso 3.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 5}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{π}{20}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{20}$

Forma decimal:

$0.15707963 \dots$

Paso 5