Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{6} \sqrt{6 x + 64} d x$

Paso 1

Sea $u = 6 x + 64$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 6 x + 64$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $6 x + 64$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 64]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [64]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 6 x + 64$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0 + 64$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 64$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $64$ .

$u_{lower} = 64$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 6 x + 64$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 6 + 64$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$u_{upper} = 36 + 64$

Paso 1.5.2

Suma $36$ y $64$ .

$u_{upper} = 100$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 64$

$u_{upper} = 100$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{64}^{100} \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int_{64}^{100} \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int_{64}^{100} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \int_{64}^{100} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{64}^{100}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $100$ y en $64$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 100^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(10^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 10^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 10^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 10^{3} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 1000 - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $1000$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 1000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $2$ por $1000$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8^{3})$

Paso 6.2.10

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{2}{3} \cdot 512)$

Paso 6.2.11

Multiplica $512$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - 512 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.12

Combina $- 512$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} + \frac{- 512 \cdot 2}{3})$

Paso 6.2.13

Multiplica $- 512$ por $2$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} + \frac{- 1024}{3})$

Paso 6.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} (\frac{2000}{3} - \frac{1024}{3})$

Paso 6.2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2000 - 1024}{3}$

Paso 6.2.16

Resta $1024$ de $2000$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{976}{3}$

Paso 6.2.17

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{976}{3}$ .

$\frac{976}{6 \cdot 3}$

Paso 6.2.18

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{976}{18}$

Paso 6.2.19

Cancela el factor común de $976$ y $18$ .

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Paso 6.2.19.1

Factoriza $2$ de $976$ .

$\frac{2 (488)}{18}$

Paso 6.2.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.19.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 488}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 488}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{488}{9}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{488}{9}$

Forma decimal:

$54.\overline{2}$

Forma de número mixto:

$54 \frac{2}{9}$

Paso 8