Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} 8 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{0}^{3} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 3^{2}$

Paso 2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 9$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 3.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 6.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 6.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 9^{2}$

Paso 6.5

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 81$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 7

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{0}^{81} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}}]_{0}^{81})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $e^{u_{2}}$ en $81$ y en $0$ .

$2 ((e^{81}) - e^{0})$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 (e^{81} - 1 \cdot 1)$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (e^{81} - 1)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 e^{81} + 2 \cdot - 1$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 e^{81} - 2$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 e^{81} - 2$

Forma decimal:

$3.01219462 \cdot 10^{35}$

Paso 14