Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

Paso 1

Sea $u = 4 m^{3} + 2$ . Entonces $d u = 12 m^{2} d m$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 m^{3} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d m}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 m^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 m^{3} + 2$ con respecto a $m$ es $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $m$ , la derivada de $4 m^{3}$ con respecto a $m$ es $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ es $n m^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $m$ , la derivada de $2$ con respecto a $m$ es $0$ .

$12 m^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 m^{2}$ y $0$ .

$12 m^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $m$ en $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $2$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $m$ en $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$u_{upper} = 108 + 2$

Paso 1.5.2

Suma $108$ y $2$ .

$u_{upper} = 110$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{12}$ .

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $110$ y en $2$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $110$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $146410000$ y $4$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $4$ de $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.3.2.4

Divide $36602500$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

Paso 5.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

Paso 5.2.5

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

Paso 5.2.6

Combina $- 16$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

Paso 5.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

Paso 5.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

Paso 5.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

Paso 5.2.7.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

Paso 5.2.8

Resta $4$ de $36602500$ .

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

Paso 5.2.9

Combina $\frac{1}{12}$ y $36602496$ .

$\frac{36602496}{12}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $36602496$ y $12$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $12$ de $36602496$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3050208}{1}$

Paso 5.2.10.2.4

Divide $3050208$ por $1$ .

$3050208$

Paso 6