Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Paso 1.2

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Paso 3

Sea $u = x - 27$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x - 27$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Paso 3.1.4

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 27$ .

$u_{lower} = 0 - 27$

Paso 3.3

Resta $27$ de $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 27$ .

$u_{upper} = 3 - 27$

Paso 3.5

Resta $27$ de $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 24$ y en $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 24$ y $0$ es $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 27$ y $0$ es $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Forma decimal:

$- 0.23556607 \dots$

Paso 9