Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

Paso 1

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = 3^{- x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina $3^{- x}$ y $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Paso 3.3

Combina $3^{- x}$ y $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ por $1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{\ln (3)}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{\ln (3)}$ fuera de la integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

Paso 9

La integral de $3^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{\ln (3)}$ y $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Evalúa $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ en $3$ y en $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Paso 11.2

Evalúa $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ en $- 3$ y en $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{27}$ .

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.5

Cancela el factor común de $3$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.5.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.6

Reescribe $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ como un producto.

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.7

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.10

Multiplica $0$ por $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.12

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.13

Reescribe $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ como un producto.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.14

Multiplica $\frac{1}{27}$ por $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.15

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Paso 11.3.16

Multiplica $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ por $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

Paso 11.3.17

Combinar.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.18

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.19

Combina $\frac{1}{27 \ln (3)}$ y $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.20

Combina $\frac{27}{27 \ln (3)}$ y $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.21

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.21.1

Cancela el factor común.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.21.2

Reescribe la expresión.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.22

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.22.1

Cancela el factor común.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.22.2

Reescribe la expresión.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.23

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.24

Combina $\frac{1}{\ln (3)}$ y $- 27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.25

Combina $\frac{- 27}{\ln (3)}$ y $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.26

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.26.1

Cancela el factor común.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.26.2

Divide $- 27$ por $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.27

Resta $27$ de $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Paso 11.3.28

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

Paso 11.3.29

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

Paso 11.3.30

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

Paso 11.3.31

Suma $1$ y $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 11.3.32

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 11.3.33

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 11.3.34

Multiplica $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ por $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 12.2

Suma $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ y $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 12.4

Multiplica $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.4.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 12.4.2

Combina $- 10$ y $\frac{1}{9 \ln (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 12.5

Multiplica $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Combina $10$ y $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 12.5.2

Multiplica $10$ por $26$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Forma decimal:

$6.96711259 \dots$

Paso 14