Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Paso 1

Sea $y = 5 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d y = 5 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.1.3

Multiplica $25$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $25$ de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $25$ de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $25$ de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $25 \cos^{2} (t)$ como ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Dado que $25$ es constante con respecto a $t$ , mueve $25$ fuera de la integral.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $t$ en $0.92729521$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Paso 13.2

Evalúa $\sin (u)$ en $1.85459043$ y en $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

Paso 13.3

Suma $0.92729521$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

Paso 14.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

Paso 14.3

Suma $\sin (1.85459043)$ y $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

Paso 14.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

Paso 14.5

Suma $0.92729521$ y $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

Paso 14.6

Combina $\frac{25}{2}$ y $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

Paso 14.7

Multiplica $25$ por $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

Paso 15

Divide $35.18238045$ por $2$ .

$17.59119022$

Paso 16