Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} 6 + 6 y - y^{2} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} 6 d y + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$6 y]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Paso 3

Dado que $6$ es constante con respecto a $y$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 y]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $6 y$ en $3$ y en $0$ .

$(6 \cdot 3) - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $3$ y en $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Paso 8.2.3

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $3$ y en $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4

Simplifica.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$18 + 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.3

Suma $18$ y $0$ .

$18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.6.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} + 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.8

Suma $\frac{9}{2}$ y $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.9

Combina $6$ y $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{6 \cdot 9}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.10

Multiplica $6$ por $9$ .

$18 + \frac{54}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11

Cancela el factor común de $54$ y $2$ .

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Paso 8.2.4.11.1

Factoriza $2$ de $54$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11.2.2

Cancela el factor común.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11.2.3

Reescribe la expresión.

$18 + \frac{27}{1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.11.2.4

Divide $27$ por $1$ .

$18 + 27 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.12

Suma $18$ y $27$ .

$45 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.13

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$45 - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 8.2.4.14.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.2

Cancela el factor común.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.3

Reescribe la expresión.

$45 - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.14.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$45 - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 8.2.4.15

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$45 - (9 - \frac{0}{3})$

Paso 8.2.4.16

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 8.2.4.16.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$45 - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 8.2.4.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.4.16.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.4.16.2.2

Cancela el factor común.

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.4.16.2.3

Reescribe la expresión.

$45 - (9 - \frac{0}{1})$

Paso 8.2.4.16.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$45 - (9 - 0)$

Paso 8.2.4.17

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$45 - (9 + 0)$

Paso 8.2.4.18

Suma $9$ y $0$ .

$45 - 1 \cdot 9$

Paso 8.2.4.19

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$45 - 9$

Paso 8.2.4.20

Resta $9$ de $45$ .

$36$

Paso 9