Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{3} \frac{1}{9 - y^{2}} d y$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{3^{2} - y^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = y$ .

$\frac{1}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{3 + y}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $3 + y$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $3 - y$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $3 + y$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (3 - y)$ por $1$ .

$1 = (A) (3 - y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 3 + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 3 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 \cdot A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $3 - y$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 3 A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (3 + y)$ por $1$ .

$1 = 3 A - A y + (B) (3 + y)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 3 A - A y + B \cdot 3 + B y$

Paso 1.1.7.7

Mueve $3$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 3 A - A y + 3 B + B y$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $y$ .

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

Paso 1.1.8.3

Mueve $3 B$ .

$1 = 3 A - y A + B y + 3 B$

Paso 1.1.8.4

Mueve $3 A$ .

$1 = - y A + B y + 3 A + 3 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 3 A + 3 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $B$ en $0 = - 1 A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

Paso 1.3.1.3

Suma $A$ a ambos lados de la ecuación.

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $A$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = 3 A + 3 B$ por $A$ .

$1 = 3 A + 3 (A)$

$B = A$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Suma $3 A$ y $3 A$ .

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

Paso 1.3.3

Resuelve $A$ en $1 = 6 A$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 A = 1$ .

$6 A = 1$

$B = A$

Paso 1.3.3.2

Divide cada término en $6 A = 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.2.1

Divide cada término en $6 A = 1$ por $6$ .

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = A$ por $\frac{1}{6}$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{6}, A = \frac{1}{6}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{6}}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{3 - y}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 + y} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Paso 4

Sea $u_{1} = 3 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 3 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{1} = 3 + y$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Paso 4.3

Suma $3$ y $0$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{1} = 3 + y$ .

$u_{upper} = 3 + 3$

Paso 4.5

Suma $3$ y $3$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 6$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{6} \int_{3}^{6} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 - y} d y$

Paso 7

Sea $u_{2} = 3 - y$ . Entonces $d u_{2} = - d y$ , de modo que $- d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 3 - y$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{2} = 3 - y$ .

$u_{lower} = 3 - 0$

Paso 7.3

Resta $0$ de $3$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{2} = 3 - y$ .

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Paso 7.5.2

Resta $3$ de $3$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- \int_{3}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- (\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}))$

Paso 11

Combina $\frac{1}{6}$ y $\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

Paso 12

Sustituye y simplifica.

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Paso 12.1

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $6$ y en $3$ .

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

Paso 12.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $0$ y en $3$ .

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 3 |)}{6}$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Para escribir $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

Paso 12.3.2

Combina $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

Paso 12.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 12.3.4

Combina $6$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 12.3.5

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 12.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 12.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 12.3.6

Multiplica $\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)$ por $1$ .

$\frac{\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

Paso 13.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 3 |})}{6}$

Paso 13.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

Paso 13.4

Reescribe $\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}}$ como un producto.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

Paso 13.5

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{| 0 |}{| 3 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} (1 \frac{| 3 |}{| 0 |}))}{6}$

Paso 13.6

Multiplica $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ por $1$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{| 3 |}{| 0 |})}{6}$

Paso 13.7

Multiplica $\frac{| 6 |}{| 3 |}$ por $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ .

$\frac{\ln (\frac{| 6 | | 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Paso 13.8

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\ln (\frac{| 6 \cdot 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Paso 13.9

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

Paso 13.10

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 \cdot 0 |})}{6}$

Paso 13.11

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 0 |})}{6}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

Paso 14.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

Paso 15

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida