Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 4 x$ . Entonces $d u_{1} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 (2 π)$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$u_{upper} = 8 π$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 3

Combina ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Paso 5.2

Expande ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Reescribe ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ como $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.5

Reordena $\sin (u_{1})$ y $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.7

Eleva $\sin (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.8

Eleva $\sin (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Paso 5.2.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5.2.11

Suma $3 \sin (u_{1})$ y $3 \sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Dado que $6$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Paso 15

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 15.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 15.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 15.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 15.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 15.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 15.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (8 π)$

Paso 15.5

Multiplica $8$ por $2$ .

$u_{upper} = 16 π$

Paso 15.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

Paso 15.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Paso 16

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Paso 17

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

Paso 18

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Paso 19

Sustituye y simplifica.

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Paso 19.1

Evalúa $9 u_{1}$ en $8 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Paso 19.2

Evalúa $- \cos (u_{1})$ en $8 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Paso 19.3

Evalúa $u_{1}$ en $8 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Paso 19.4

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $16 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Paso 19.5

Simplifica.

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Paso 19.5.1

Multiplica $8$ por $9$ .

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Paso 19.5.2

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Paso 19.5.3

Suma $72 π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Paso 19.5.4

Suma $8 π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Paso 20.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

Paso 20.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

Paso 20.4

Suma $\sin (16 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

Paso 20.5

Combina $\sin (16 π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21.5

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Paso 21.6

Simplifica el numerador.

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Paso 21.6.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

Paso 21.6.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

Paso 21.7

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

Paso 21.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

Paso 21.9

Suma $8 π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

Paso 21.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 21.10.1

Factoriza $2$ de $8 π$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Paso 21.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Paso 21.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

Paso 21.11

Suma $72 π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

Paso 21.12

Suma $72 π$ y $4 π$ .

$\frac{1}{8} (76 π)$

Paso 21.13

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 21.13.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

Paso 21.13.2

Factoriza $4$ de $76 π$ .

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

Paso 21.13.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

Paso 21.13.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (19 π)$

Paso 21.14

Combina $19$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{19}{2} π$

Paso 21.15

Combina $\frac{19}{2}$ y $π$ .

$\frac{19 π}{2}$

Paso 22

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{19 π}{2}$

Forma decimal:

$29.84513020 \dots$