Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $4$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 6.2.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.8

Combina $4^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

Paso 6.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 6.2.10

Mueve $4^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

Paso 6.2.11

Multiplica $4^{\frac{4}{3}}$ por $4^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.11.1

Mueve $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

Paso 6.2.11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

Paso 6.2.11.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Paso 6.2.11.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Paso 6.2.11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

Paso 6.2.11.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.11.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

Paso 6.2.11.6.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

Paso 6.2.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 7.3.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Forma decimal:

$3.61889842 \dots$

Paso 9