Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Paso 1

Dado que $18$ es constante con respecto a $x$ , mueve $18$ fuera de la integral.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x + 1$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = 3 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 2.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Paso 2.5.2

Suma $6$ y $1$ .

$u_{upper} = 7$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $u^{5}$ y $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $18$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 5.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Paso 7

Combina $\frac{1}{6}$ y $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $\frac{u^{6}}{6}$ en $7$ y en $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Paso 8.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Paso 8.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Paso 8.2.4

Resta $1$ de $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $117648$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.1

Factoriza $6$ de $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Paso 8.2.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Paso 8.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Paso 8.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{19608}{1})$

Paso 8.2.5.2.4

Divide $19608$ por $1$ .

$6 \cdot 19608$

Paso 8.2.6

Multiplica $6$ por $19608$ .

$117648$

Paso 9