Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y$

Paso 1

Sea $u = 2 y^{2} - 3$ . Entonces $d u = 4 y d y$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 y^{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2} - 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$4 y + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 y$ y $0$ .

$4 y$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 3$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 - 3$

Paso 1.3.2

Resta $3$ de $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0^{2} - 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0 - 3$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{upper} = 0 - 3$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $0$ .

$u_{upper} = - 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{- 3} u^{5} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $u^{5}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{- 3} \frac{u^{5}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{- 3} u^{5} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{- 1}^{- 3}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{6} u^{6}$ en $- 3$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {(- 3)}^{6}) - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $729$ y $6$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Paso 5.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.6

Para escribir $\frac{243}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $\frac{243}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Paso 5.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $243$ por $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Paso 5.2.9.2

Resta $1$ de $729$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{728}{6}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $728$ y $6$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $2$ de $728$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{364}{3}$

Paso 5.2.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{4 \cdot 3}$

Paso 5.2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{364}{12}$

Paso 5.2.13

Cancela el factor común de $364$ y $12$ .

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Paso 5.2.13.1

Factoriza $4$ de $364$ .

$\frac{4 (91)}{12}$

Paso 5.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Paso 5.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Paso 5.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{91}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{91}{3}$

Forma decimal:

$30.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$30 \frac{1}{3}$

Paso 7