Cálculo Ejemplos

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 3

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 3.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Paso 3.3

Multiplica $π$ por $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Paso 3.5

Multiplica $π$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 4

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{π}$ y $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Paso 8

Multiplica $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Paso 11

Dado que $- 12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 12$ fuera de la integral.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Paso 13

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Paso 15

Sustituye y simplifica.

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Paso 15.1

Evalúa $\sin (u)$ en $1.57079632$ y en $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Paso 15.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $0.5$ y en $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Paso 15.3

Evalúa $3 x$ en $0.5$ y en $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4

Simplifica.

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Paso 15.4.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.5

Multiplica $\frac{0.125}{3}$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.7

Suma $0.125$ y $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.8

Combina $- 12$ y $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.9

Multiplica $- 12$ por $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.10

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 15.4.10.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.4.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.10.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.11

Multiplica $3$ por $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Paso 15.4.12

Multiplica $- 3$ por $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Paso 15.4.13

Suma $1.5$ y $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Paso 15.4.14

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Paso 16.1.2

Combina $\frac{4}{π}$ y $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Paso 16.1.3

Combina $\frac{4}{π}$ y $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Paso 16.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.4.1

Evalúa $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Paso 16.1.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Paso 16.1.4.3

Evalúa $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Paso 16.1.4.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Paso 16.1.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Paso 16.1.4.6

Multiplica $- - \frac{4}{π}$ .

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Paso 16.1.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Paso 16.1.4.6.2

Multiplica $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Paso 16.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Paso 16.1.6

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Paso 16.2

Suma $\frac{8}{π}$ y $2$ .

$4.54647908$