Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 3}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Paso 7.1.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{6} u^{6}$ en $\sqrt{2}$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Paso 7.2.2

Evalúa $- \frac{1}{2 u^{2}}$ en $\sqrt{2}$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{6}$ como $2^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.4

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 7.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.7

Para escribir $\frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.8.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.10.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.10.2

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.11

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.12

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.2.3.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.13.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.13.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.14

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Paso 7.2.3.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Paso 7.2.3.16

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.17

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Paso 7.2.3.18

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.18.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Paso 7.2.3.18.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Paso 7.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

Paso 7.2.3.20

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

Paso 7.2.3.21

Para escribir $- \frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 7.2.3.22

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.22.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

Paso 7.2.3.22.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

Paso 7.2.3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 - 6}{24}$

Paso 7.2.3.24

Resta $6$ de $7$ .

$\frac{1}{24}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{24}$

Forma decimal:

$0.041\overline{6}$

Paso 9