Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ como $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $4$ fuera del exponente.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Paso 3.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Paso 3.5.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{u^{2}}{2}$ en $4$ y en $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 6.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.2.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Paso 6.2.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$3 (8 - 0)$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$3 (8 + 0)$

Paso 6.2.6

Suma $8$ y $0$ .

$3 \cdot 8$

Paso 6.2.7

Multiplica $3$ por $8$ .

$24$