Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 4.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 4.6

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.1.3

Multiplica $\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ como un producto.

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Paso 6.3

Expande ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Paso 6.3.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.7

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.8

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.9

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.10

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.11

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.12

Mueve los paréntesis.

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.13

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.14

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.15

Reordena $\frac{1}{2}$ y $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.16

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.17

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.18

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Paso 6.3.19

Reordena $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Paso 6.3.20

Mueve los paréntesis.

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.21

Mueve $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.22

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.23

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.24

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.25

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.26

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.27

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.28

Combina $- \frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.29

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.30

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.31

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.32

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.33

Combina $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.34

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.35

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.36

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.37

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.38

Multiplica $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.39

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.3.40

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.41

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.42

Eleva $\cos (u_{1})$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.43

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.44

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.45

Resta $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.46

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.47

Reordena $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.3.48

Reordena $\frac{1}{4}$ y $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Paso 6.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Paso 6.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Paso 6.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 9

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 14

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 14.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 14.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 14.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

$2$

Paso 14.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 14.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 14.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Paso 14.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Paso 14.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Paso 14.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 15

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 17

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 18

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 19

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 20

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{1}) d u_{1})$

Paso 21

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Paso 22

Sustituye y simplifica.

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Paso 22.1

Evalúa $u_{1}$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Paso 22.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $4 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Paso 22.3

Evalúa $\frac{1}{4} u_{1}$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

Paso 22.4

Evalúa $\sin (u_{1})$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5

Simplifica.

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Paso 22.5.1

Suma $2 π$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2}{4} π - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.3

Combina $\frac{2}{4}$ y $π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 22.5.4.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 (π)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 22.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.5

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.6

Multiplica $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Paso 22.5.7

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Paso 23.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Paso 23.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Paso 23.4

Suma $\sin (4 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Paso 23.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Paso 23.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Paso 23.7

Suma $\sin (2 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 π)$

Paso 23.8

Combina $\sin (2 π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2}$

Paso 23.9

Para escribir $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.10

Combina $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2 - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.12

Combina $2$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{2}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.13

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 23.13.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (1)}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.13.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 23.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 24.1.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.2

Suma $2 π$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.3.2

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (π)) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.5

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.6

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} - 0}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\frac{π}{2} + 0}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.8

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.10

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 24.10.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π}{2}$

Paso 24.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Paso 24.11

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 24.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 24.12.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 24.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Paso 24.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Paso 24.14

Suma $π$ y $π \cdot 2$ .

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Paso 24.14.1

Reordena $π$ y $2$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Paso 24.14.2

Suma $π$ y $2 \cdot π$ .

$\frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4}$

Paso 25

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 π}{4}$

Forma decimal:

$2.35619449 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$