Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Paso 5

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $x$ en $π$ y en $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Paso 6.1.2

Evalúa $x \sin (x)$ en $π$ y en $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Paso 6.1.3

Evalúa $- \cos (x)$ en $π$ y en $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Suma $π$ y $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Paso 6.1.4.3

Suma $π \sin (π)$ y $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Paso 6.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Paso 6.3.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Paso 6.3.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Paso 6.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Paso 6.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Paso 6.3.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Paso 6.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Paso 6.3.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$π - (0 - 2)$

Paso 6.3.10

Resta $2$ de $0$ .

$π - - 2$

Paso 6.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$π + 2$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$π + 2$

Forma decimal:

$5.14159265 \dots$