Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Paso 1.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Paso 1.6

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\sin^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 10.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 10.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Paso 10.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Paso 10.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Paso 10.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 11

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 13

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Paso 14

Sustituye y simplifica.

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Paso 14.1

Evalúa $u_{1}$ en $2 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Paso 14.2

Evalúa $\sin (u_{2})$ en $4 π$ y en $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Paso 14.3

Suma $2 π$ y $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Paso 15.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Paso 15.3

Suma $\sin (4 π)$ y $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Paso 15.4

Combina $\sin (4 π)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

Paso 16.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

Paso 16.2

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

Paso 16.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

Paso 16.4

Suma $2 π$ y $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π)$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

Paso 16.5.2

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

Paso 16.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

Paso 16.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} π$

Paso 16.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $π$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$