Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{4} + 27)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{4} + 27)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 2.1.2.3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Paso 2.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Paso 2.1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Paso 2.1.2.4.3

Combina $\frac{4}{x^{4} + 27}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.5

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Combina $4$ y $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.3

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.4

Multiplica $81$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.2

Resta $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Paso 3.3.1.1.2

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Paso 3.3.1.1.3

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Paso 3.3.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Paso 3.3.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Paso 3.3.1.5

Factoriza.

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Paso 3.3.1.5.1

Simplifica.

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Paso 3.3.1.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Paso 3.3.1.5.1.2

Factoriza.

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Paso 3.3.1.5.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Paso 3.3.1.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 3.3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.4

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.4.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 3.3.4.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 3.3.4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 3.3.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 3.3.4.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 3.3.4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 3.3.4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 3.3.4.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.3.4.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 3.3.4.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 3.3.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 3.3.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 3.3.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 3.3.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ es $(0, \ln (27))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, \ln (27))$

Paso 4.3

Sustituye $- 3$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Paso 4.3.2.2

Suma $81$ y $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ es $(- 3, \ln (108))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, \ln (108))$

Paso 4.5

Sustituye $3$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Paso 4.5.2.2

Suma $81$ y $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Paso 4.5.2.3

La respuesta final es $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $3$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ es $(3, \ln (108))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(3, \ln (108))$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $324$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Suma $- 3550.014724$ y $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $92.3521$ y $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $119.3521$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Paso 6.2.3

Divide $- 436.374724$ por $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Paso 6.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 0.0306337$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Reescribe $- 1 (\frac{729}{16})$ como $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.13

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.13.1

Factoriza $4$ de $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.13.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.13.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.14

Multiplica $81$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.15

Para escribir $729$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.16

Combina $729$ y $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.18

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.18.1

Multiplica $729$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.18.2

Suma $- 729$ y $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Para escribir $27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Combina $27$ y $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.9.1

Multiplica $27$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9.2

Suma $81$ y $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Paso 7.2.2.10

Aplica la regla del producto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Paso 7.2.2.11

Eleva $513$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Paso 7.2.2.12

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Paso 7.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $729$ .

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Paso 7.2.4.1

Factoriza $729$ de $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Paso 7.2.4.2

Factoriza $729$ de $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Paso 7.2.4.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Paso 7.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.5.1

Factoriza $16$ de $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Paso 7.2.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Paso 7.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Paso 7.2.6

Combina $15$ y $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Paso 7.2.7

Multiplica $15$ por $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Paso 7.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $0.66481994$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Reescribe $- 1 (\frac{729}{16})$ como $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.9.1

Factoriza $4$ de $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Multiplica $81$ por $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.11

Para escribir $729$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.12

Combina $729$ y $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.14

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.14.1

Multiplica $729$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.14.2

Suma $- 729$ y $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Para escribir $27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Combina $27$ y $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.7.1

Multiplica $27$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7.2

Suma $81$ y $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Paso 8.2.2.9

Eleva $513$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Paso 8.2.2.10

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $729$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Factoriza $729$ de $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $729$ de $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Paso 8.2.4.3

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Paso 8.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.1

Factoriza $16$ de $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Paso 8.2.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Paso 8.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Paso 8.2.6

Combina $15$ y $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Paso 8.2.7

Multiplica $15$ por $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Paso 8.2.8

La respuesta final es $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Paso 8.3

En $\frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $0.66481994$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, 3)$ .

Incremento en $(0, 3)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.1$ en la expresión.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $3.1$ a la potencia de $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $3.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $324$ por $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.1.5

Suma $- 3550.014724$ y $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $3.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $92.3521$ y $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $119.3521$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Paso 9.2.3

Divide $- 436.374724$ por $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Paso 9.3

En $3.1$ , la segunda derivada es $- 0.0306337$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(3, \infty)$ .

Decrecimiento en $(3, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Paso 11