Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Paso 2

Sea $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Entonces $d u = 4 \sin (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 4 \cos (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Paso 2.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4 \cos (t)$ con respecto a $t$ es $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Paso 2.3.2

Resta $4$ de $5$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Paso 2.5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 2.5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Paso 2.5.1.3.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Paso 2.5.2

Suma $5$ y $4$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Combina $u^{\frac{1}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Paso 7.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Paso 8.2

Combinar.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{5}$ al numerador.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Paso 8.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Paso 8.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Paso 8.5.4

Divide $9^{\frac{5}{4}}$ por $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Forma decimal:

$14.58845726 \dots$