Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} + 3 x + 6 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{1}^{10} x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 \int_{1}^{10} x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $10$ y en $1$ .

$3 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $10$ y en $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 6 x]_{1}^{10}$

Paso 9.3

Evalúa $6 x$ en $10$ y en $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{1000 - 1}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.4

Resta $1$ de $1000$ .

$3 (\frac{999}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.5

Cancela el factor común de $999$ y $3$ .

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Paso 9.4.5.1

Factoriza $3$ de $999$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 (1)} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{333}{1}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.5.2.4

Divide $333$ por $1$ .

$3 \cdot 333 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.6

Multiplica $3$ por $333$ .

$999 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.7

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$999 + 3 (\frac{100}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.8

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 9.4.8.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$999 + 3 (\frac{50}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.8.2.4

Divide $50$ por $1$ .

$999 + 3 (50 - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$999 + 3 (50 - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.10

Para escribir $50$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.11

Combina $50$ y $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$999 + 3 \frac{50 \cdot 2 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.13

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.13.1

Multiplica $50$ por $2$ .

$999 + 3 \frac{100 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.13.2

Resta $1$ de $100$ .

$999 + 3 (\frac{99}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.14

Combina $3$ y $\frac{99}{2}$ .

$999 + \frac{3 \cdot 99}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.15

Multiplica $3$ por $99$ .

$999 + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.16

Para escribir $999$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$999 \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.17

Combina $999$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{999 \cdot 2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{999 \cdot 2 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.19

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.19.1

Multiplica $999$ por $2$ .

$\frac{1998 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.19.2

Suma $1998$ y $297$ .

$\frac{2295}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.20

Multiplica $6$ por $10$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6 \cdot 1$

Paso 9.4.21

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6$

Paso 9.4.22

Resta $6$ de $60$ .

$\frac{2295}{2} + 54$

Paso 9.4.23

Para escribir $54$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.4.24

Combina $54$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Paso 9.4.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2295 + 54 \cdot 2}{2}$

Paso 9.4.26

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.26.1

Multiplica $54$ por $2$ .

$\frac{2295 + 108}{2}$

Paso 9.4.26.2

Suma $2295$ y $108$ .

$\frac{2403}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2403}{2}$

Forma decimal:

$1201.5$

Forma de número mixto:

$1201 \frac{1}{2}$

Paso 11