Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} {(4 - 3 x)}^{8} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 1.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 - 3 x$ .

$u_{lower} = 4 - 3 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Paso 1.3.2

Resta $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 - 3 x$ .

$u_{upper} = 4 - 3 \cdot 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 - 6$

Paso 1.5.2

Resta $6$ de $4$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} \frac{1}{- 3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 2.2

Combina $u^{8}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{- 2} - \frac{u^{8}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{u^{8}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int_{1}^{- 2} u^{8} d u)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{8}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{1}{9} u^{9}]_{1}^{- 2}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{9} u^{9}$ en $- 2$ y en $1$ .

$- \frac{1}{3} ((\frac{1}{9} {(- 2)}^{9}) - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $9$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot - 512 - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{9}$ y $- 512$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{- 512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Paso 6.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1)$

Paso 6.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9})$

Paso 6.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 512 - 1}{9}$

Paso 6.2.7

Resta $1$ de $- 512$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 513}{9}$

Paso 6.2.8

Cancela el factor común de $- 513$ y $9$ .

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Paso 6.2.8.1

Factoriza $9$ de $- 513$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9}$

Paso 6.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.8.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 (1)}$

Paso 6.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 \cdot 1}$

Paso 6.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 57}{1}$

Paso 6.2.8.2.4

Divide $- 57$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 57$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 57$ por $- 1$ .

$57 (\frac{1}{3})$

Paso 6.2.10

Combina $57$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{57}{3}$

Paso 6.2.11

Cancela el factor común de $57$ y $3$ .

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Paso 6.2.11.1

Factoriza $3$ de $57$ .

$\frac{3 \cdot 19}{3}$

Paso 6.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 19}{3 (1)}$

Paso 6.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1}$

Paso 6.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{19}{1}$

Paso 6.2.11.2.4

Divide $19$ por $1$ .

$19$

Paso 7