Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} + 3 x^{2} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Paso 2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Paso 5

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$8 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$8 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$8 \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.7.2

Resta $1$ de $16$ .

$8 (\frac{15}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.8

Combina $8$ y $\frac{15}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.9

Multiplica $8$ por $15$ .

$\frac{120}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10

Cancela el factor común de $120$ y $4$ .

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Paso 7.2.3.10.1

Factoriza $4$ de $120$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4 (1)} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 30}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{30}{1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10.2.4

Divide $30$ por $1$ .

$30 + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$30 + 3 \frac{8 - 1}{3}$

Paso 7.2.3.14

Resta $1$ de $8$ .

$30 + 3 (\frac{7}{3})$

Paso 7.2.3.15

Combina $3$ y $\frac{7}{3}$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Paso 7.2.3.16

Multiplica $3$ por $7$ .

$30 + \frac{21}{3}$

Paso 7.2.3.17

Cancela el factor común de $21$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.17.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Paso 7.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.17.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)}$

Paso 7.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$30 + \frac{7}{1}$

Paso 7.2.3.17.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$30 + 7$

Paso 7.2.3.18

Suma $30$ y $7$ .

$37$

Paso 8