Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} - 9 x^{2} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{2} x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Paso 5

Dado que $- 9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 9$ fuera de la integral.

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $- \frac{1}{3 x^{3}}$ en $2$ y en $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$5 (- \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.5

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{3 \cdot 8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.6.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{- 1 + 8}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.8

Suma $- 1$ y $8$ .

$5 (\frac{7}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.9

Combina $5$ y $\frac{7}{24}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.10

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Paso 7.2.3.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 7.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35}{24} - 9 \frac{8 - 1}{3}$

Paso 7.2.3.14

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{7}{3})$

Paso 7.2.3.15

Combina $- 9$ y $\frac{7}{3}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 9 \cdot 7}{3}$

Paso 7.2.3.16

Multiplica $- 9$ por $7$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 63}{3}$

Paso 7.2.3.17

Cancela el factor común de $- 63$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.17.1

Factoriza $3$ de $- 63$ .

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3}$

Paso 7.2.3.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.17.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 (1)}$

Paso 7.2.3.17.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.17.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{35}{24} + \frac{- 21}{1}$

Paso 7.2.3.17.2.4

Divide $- 21$ por $1$ .

$\frac{35}{24} - 21$

Paso 7.2.3.18

Para escribir $- 21$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} - 21 \cdot \frac{24}{24}$

Paso 7.2.3.19

Combina $- 21$ y $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 21 \cdot 24}{24}$

Paso 7.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{35 - 21 \cdot 24}{24}$

Paso 7.2.3.21

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.21.1

Multiplica $- 21$ por $24$ .

$\frac{35 - 504}{24}$

Paso 7.2.3.21.2

Resta $504$ de $35$ .

$\frac{- 469}{24}$

Paso 7.2.3.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{469}{24}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{469}{24}$

Forma decimal:

$- 19.541\overline{6}$

Forma de número mixto:

$- 19 \frac{13}{24}$

Paso 9