Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} + 3 x d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 2

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$10 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$10 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 \int_{1}^{3} x d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $- \frac{1}{2 x^{2}}$ en $3$ y en $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $1$ .

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$10 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.5

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 \frac{- 1 + 9}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.8

Suma $- 1$ y $9$ .

$10 (\frac{8}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.9

Cancela el factor común de $8$ y $18$ .

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Paso 8.2.3.9.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$10 \frac{2 (4)}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$10 (\frac{4}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.10

Combina $10$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{10 \cdot 4}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.11

Multiplica $10$ por $4$ .

$\frac{40}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 8.2.3.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{9 - 1}{2}$

Paso 8.2.3.15

Resta $1$ de $9$ .

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{8}{2})$

Paso 8.2.3.16

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 8.2.3.16.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Paso 8.2.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.16.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 8.2.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{4}{1})$

Paso 8.2.3.16.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{40}{9} + 3 \cdot 4$

Paso 8.2.3.17

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{40}{9} + 12$

Paso 8.2.3.18

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + 12 \cdot \frac{9}{9}$

Paso 8.2.3.19

Combina $12$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{40}{9} + \frac{12 \cdot 9}{9}$

Paso 8.2.3.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{40 + 12 \cdot 9}{9}$

Paso 8.2.3.21

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.21.1

Multiplica $12$ por $9$ .

$\frac{40 + 108}{9}$

Paso 8.2.3.21.2

Suma $40$ y $108$ .

$\frac{148}{9}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{148}{9}$

Forma decimal:

$16.\overline{4}$

Forma de número mixto:

$16 \frac{4}{9}$

Paso 10