Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{5}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{6} y^{6}$ en $3$ y en $1$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Paso 8.2

Evalúa $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ en $3$ y en $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $729$ y $6$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $3$ de $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.6

Para escribir $\frac{243}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.7.1

Multiplica $\frac{243}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Multiplica $243$ por $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.9.2

Resta $1$ de $729$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.10

Cancela el factor común de $728$ y $6$ .

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Paso 8.3.10.1

Factoriza $2$ de $728$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.11

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.12

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.13

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.14

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.15

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.16

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 8.3.17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 8.3.18

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Paso 8.3.19

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Paso 8.3.20

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.20.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Paso 8.3.20.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Paso 8.3.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Paso 8.3.22

Suma $- 1$ y $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

Paso 8.3.23

Cancela el factor común de $8$ y $18$ .

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Paso 8.3.23.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Paso 8.3.23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.23.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Paso 8.3.23.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Paso 8.3.23.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

Paso 8.3.24

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

Paso 8.3.25

Multiplica $9$ por $12$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

Paso 8.3.26

Cancela el factor común de $4$ y $108$ .

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Paso 8.3.26.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

Paso 8.3.26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.26.2.1

Factoriza $4$ de $108$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Paso 8.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Paso 8.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

Paso 8.3.27

Para escribir $\frac{364}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

Paso 8.3.28

Para escribir $- \frac{1}{27}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.29

Escribe cada expresión con un denominador común de $135$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.29.1

Multiplica $\frac{364}{15}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.29.2

Multiplica $15$ por $9$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 8.3.29.3

Multiplica $\frac{1}{27}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

Paso 8.3.29.4

Multiplica $27$ por $5$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

Paso 8.3.30

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

Paso 8.3.31

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.31.1

Multiplica $364$ por $9$ .

$\frac{3276 - 5}{135}$

Paso 8.3.31.2

Resta $5$ de $3276$ .

$\frac{3271}{135}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3271}{135}$

Forma decimal:

$24.2\overline{296}$

Forma de número mixto:

$24 \frac{31}{135}$

Paso 10