Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Expande $(x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{25} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{25} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{25} x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 \int_{1}^{25} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $25$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Paso 9.2

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $25$ y en $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $125$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{250 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.10

Resta $2$ de $250$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.12

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.14

Evalúa el exponente.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.15

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1)$

Paso 9.3.17

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2)$

Paso 9.3.18

Resta $2$ de $10$ .

$\frac{248}{3} - 2 \cdot 8$

Paso 9.3.19

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{248}{3} - 16$

Paso 9.3.20

Para escribir $- 16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 9.3.21

Combina $- 16$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{248 - 16 \cdot 3}{3}$

Paso 9.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.23.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{248 - 48}{3}$

Paso 9.3.23.2

Resta $48$ de $248$ .

$\frac{200}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{200}{3}$

Forma decimal:

$66.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$66 \frac{2}{3}$

Paso 11