Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} x^{2} - 4 x + 5 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 4 x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Paso 3

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 5 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 5 d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 5 x]_{1}^{3}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ y $5 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{1}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ en $3$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $3$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 7.2.3.3.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.3.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.5

Suma $9$ y $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot 1) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.9

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.10

Combina $5$ y $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}) - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 - \frac{1 + 5 \cdot 3}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.12.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$24 - \frac{1 + 15}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.12.2

Suma $1$ y $15$ .

$24 - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.13

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.14

Combina $24$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{24 \cdot 3 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.16.1

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{72 - 16}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.16.2

Resta $16$ de $72$ .

$\frac{56}{3} - 4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.17

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 7.2.3.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{9 - 1}{2}$

Paso 7.2.3.20

Resta $1$ de $9$ .

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{8}{2})$

Paso 7.2.3.21

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 7.2.3.21.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Paso 7.2.3.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.21.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 7.2.3.21.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{56}{3} - 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.3.21.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{56}{3} - 4 (\frac{4}{1})$

Paso 7.2.3.21.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{56}{3} - 4 \cdot 4$

Paso 7.2.3.22

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{56}{3} - 16$

Paso 7.2.3.23

Para escribir $- 16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.2.3.24

Combina $- 16$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{56 - 16 \cdot 3}{3}$

Paso 7.2.3.26

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.26.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{56 - 48}{3}$

Paso 7.2.3.26.2

Resta $48$ de $56$ .

$\frac{8}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{2}{3}$

Paso 9