Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} 2 (x^{- 2} + 3 x) x^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 2 (3 x)) x^{2} d x$

Paso 1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 6 x) x^{2} d x$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{2} (2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Paso 1.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x \cdot x^{2} d x$

Paso 1.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x) d x$

Paso 1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x^{1}) d x$

Paso 1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{2 + 1} d x$

Paso 1.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Paso 4

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$2 x]_{1}^{2} + 6 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $2 x$ en $2$ y en $1$ .

$(2 \cdot 2) - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Paso 6.2.2

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $2$ y en $1$ .

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$4 - 2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.3

Resta $2$ de $4$ .

$2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$2 + 6 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + 6 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.5.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$2 + 6 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 6.2.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + 6 (4 - \frac{1}{4})$

Paso 6.2.3.7

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 6.2.3.8

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 6.2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 + 6 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 6.2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.10.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$2 + 6 \frac{16 - 1}{4}$

Paso 6.2.3.10.2

Resta $1$ de $16$ .

$2 + 6 (\frac{15}{4})$

Paso 6.2.3.11

Combina $6$ y $\frac{15}{4}$ .

$2 + \frac{6 \cdot 15}{4}$

Paso 6.2.3.12

Multiplica $6$ por $15$ .

$2 + \frac{90}{4}$

Paso 6.2.3.13

Cancela el factor común de $90$ y $4$ .

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Paso 6.2.3.13.1

Factoriza $2$ de $90$ .

$2 + \frac{2 (45)}{4}$

Paso 6.2.3.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.13.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.13.2.2

Cancela el factor común.

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2.3.13.2.3

Reescribe la expresión.

$2 + \frac{45}{2}$

Paso 6.2.3.14

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Paso 6.2.3.15

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2}$

Paso 6.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 2 + 45}{2}$

Paso 6.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.17.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 45}{2}$

Paso 6.2.3.17.2

Suma $4$ y $45$ .

$\frac{49}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{49}{2}$

Forma decimal:

$24.5$

Forma de número mixto:

$24 \frac{1}{2}$

Paso 8