Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Simplifica.

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Paso 1.1.1

Factoriza $t^{4}$ de $t^{8} - t^{4}$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $t^{4}$ de $t^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $t^{4}$ de $- t^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $t^{4}$ de $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $t^{4}$ de $t^{6}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Paso 1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Paso 2

Multiplica $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $t^{4}$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Paso 3.1.2

Resta $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Paso 3.2

Reescribe $- 1 t^{- 2}$ como $- t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - t^{- 2} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} t^{2} d t + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{- 2} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{3} t^{3}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 8.2

Evalúa $- t^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.6

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.7

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 8.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1)$

Paso 8.3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 8.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 8.3.11

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{1}{2}$

Paso 8.3.12

Para escribir $\frac{7}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 8.3.13

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.14.1

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3.14.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3.14.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.14.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Paso 8.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 \cdot 2 - 3}{6}$

Paso 8.3.16

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.16.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{14 - 3}{6}$

Paso 8.3.16.2

Resta $3$ de $14$ .

$\frac{11}{6}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{11}{6}$

Forma decimal:

$1.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{5}{6}$

Paso 10