Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Paso 2

Multiplica $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 3.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 5

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Paso 6

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $2$ y en $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 8.1.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 8.1.3

Simplifica.

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Paso 8.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 8.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Paso 8.1.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 8.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 8.1.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Paso 8.1.3.6

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Paso 8.1.3.7

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 8.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Paso 8.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 8.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Paso 8.1.3.7.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Paso 8.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Paso 8.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Paso 8.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (2) - 2$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2) - 2$

Forma decimal:

$- 1.30685281 \dots$

Paso 10