Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ como $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{p}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{p}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Paso 3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Paso 5

Combina $\frac{1}{p}$ y $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Paso 6

Evalúa $\ln (| u |)$ en $\ln (2)$ y en $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Paso 8.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Paso 9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida