Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Paso 1.1.2

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y (y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.6.2

Divide $4 y^{2} - 7 y - 12$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $A ((y + 2) (y - 3))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.2

Expande $(y + 2) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.3.2

Suma $- 3 y$ y $2 y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.5

Simplifica.

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Paso 1.1.7.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.5.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.6

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 1.1.7.6.1

Cancela el factor común.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.6.2

Divide $(B) (y (y - 3))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.8

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.9

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.10

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.12

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.1.7.12.1

Cancela el factor común.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

Paso 1.1.7.12.2

Divide $(C) (y (y + 2))$ por $1$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

Paso 1.1.7.13

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Paso 1.1.7.14

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Paso 1.1.7.15

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Paso 1.1.7.16

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Paso 1.1.7.17

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $y^{2}$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

Paso 1.1.8.3

Mueve $B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

Paso 1.1.8.4

Mueve $- 6 A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

Paso 1.1.8.5

Mueve $- 3 y B$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Paso 1.1.8.6

Mueve $- y A$ .

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = A + B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 12 = - 6 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $- 12 = - 6 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 6 A = - 12$ .

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 6 A = - 12$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 6 A = - 12$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Divide $- 12$ por $- 6$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = A + B + C$ por $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ por $2$ .

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $4 = 2 + B + C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2.3

Resta $2$ de $4$ .

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2 - C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ por $2 - C$ .

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.4.2.1.2.1

Resta $6$ de $- 2$ .

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2.2

Suma $3 C$ y $2 C$ .

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5

Resuelve $C$ en $- 7 = - 8 + 5 C$ .

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 8 + 5 C = - 7$ .

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.5.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $- 7$ y $8$ .

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3

Divide cada término en $5 C = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.3.1

Divide cada término en $5 C = 1$ por $5$ .

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $\frac{1}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 2 - C$ por $\frac{1}{5}$ .

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.1

Simplifica $2 - (\frac{1}{5})$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2.1.2

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.2.1.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2.1.4.2

Resta $1$ de $10$ .

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{9}{5}$ por $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 5

Dado que $\frac{9}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{9}{5}$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 6

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 6.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{1} = y + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 6.3

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{1} = y + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Paso 6.5

Suma $2$ y $2$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

Paso 9

Sea $u_{2} = y - 3$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = y - 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Paso 9.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{2} = y - 3$ .

$u_{lower} = 1 - 3$

Paso 9.3

Resta $3$ de $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Paso 9.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{2} = y - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Paso 9.5

Resta $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 9.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Paso 9.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\ln (| y |)$ en $2$ y en $1$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Paso 11.2

Evalúa $\ln (| u_{1} |)$ en $4$ y en $3$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

Paso 11.3

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $- 1$ y en $- 2$ .

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Paso 11.4

Elimina los paréntesis.

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 12.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 12.3

Combina $\frac{9}{5}$ y $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Paso 12.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Paso 12.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.3

Divide $2$ por $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.6

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

Paso 13.7

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

Forma decimal:

$1.76549265 \dots$

Paso 15